Напряженность электростатического поля. линии напряженности

Напряженность электрического поля

Какое поле называют электростатическим?

Определение 2

Электростатическое поле – это электрическое поле, которое окружает неподвижные и не меняющиеся со временем заряды.

Очень часто в контексте темы электростатическое поле будет именоваться электрическим для краткости.

Электрическое поле может быть создано сразу несколькими заряженными телами. Такое поле также можно исследовать с помощью пробного заряда. В этом случае мы будем оценивать результирующую силу, которая будет равна геометрической сумме сил каждого из заряженных тем в отдельности.

Определение 3

Напряженность электрического поля, которая создается в определенной точке пространства системой зарядов, будет равна векторной сумме напряженностей электрических полей:

E→=E1→+E2→+…

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции.

Определение 4

Согласно формуле, напряженность электростатического поля, которое создается точечным зарядом Q на расстоянии r от него, в соответствии с законом Кулона, будет равна по модулю:

E=14πε·Qr2.

Это поле называется кулоновским.

Слишком сложно?
Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу

Опиши задание

В кулоновском поле направление вектора E⇀ зависит от знака заряда Q: если Q>, то вектор E⇀ направлен по радиусу от заряда, если Q<, то вектор E⇀ направлен к заряду.

Обратимся к иллюстрации. На рисунке для большей наглядности мы используем силовые линии электрического поля. Они проходят таким образом, чтобы направление вектора E⇀ в каждой из точек пространства совпадало с направлением касательной к силовой линии. Густота силовых линий соответствует модулю вектора напряженности поля.

Рисунок 1.2.1. Силовые линии электрического поля.

Мы можем использовать как положительные, так и отрицательные точечные заряды. Оба эти случая мы изобразили на рисунке. Электростатическое поле, которое создается системой зарядов, мы можем представить как суперпозицию кулоновских полей точечных зарядов. В связи с этим мы можем рассматривать поля точечных зарядов как элементарные структурные единицы любого электрического поля.

Рисунок 1.2.2. Силовые линии кулоновских полей.

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор r→от заряда Q к точке наблюдения. Тогда при Q> вектор E→ параллелен r→, а при Q< вектор E→ антипараллелен r→.

Следовательно можно записать:

E→=14πε·Qr3r→,

где r – модуль радиус-вектора r→.

По заданному распределению зарядов можно определить электрическое поле E→. Такие задачи часто встречаются в таком разделе физики как электростатика. Рассмотрим пример такой задачи.

Пример 1

Предположим, что нам нужно найти электрическое поле длинной однородно заряженной нити на расстоянии R от нее. Для большей наглядности мы привели схему на рисунке ниже.

Рисунок 1.2.3. Электрическое поле заряженной нити.

Поле в точке наблюдения P может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей, создаваемых малыми элементами Δx нити, с зарядом τΔx, где τ – заряд нити на единицу длины. Задача сводится к суммированию (интегрированию) элементарных полей ∆E→. Результирующее поле оказывается равным

E=τ2πεR.

Вектор E→ везде направлен по радиусу R→. Это следует из симметрии задачи.

Даже в таком простом примере вычисления могут быть достаточно громоздкими. Упростить математические расчеты позволяет теорема Гаусса, которая выражает фундаментальное свойство электрического поля.

Рисунок 1.2.4. Модель электрического поля точечных зарядов.

Рисунок 1.2.5. Модель движения заряда в электрическом поле.

Доказательство теоремы Гаусса

Согласно данной закономерности, поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную поверхность определяют поток вектора. В единицах измерения СИ \(\Phi _{E}\) = 1 В´м. Вначале необходимо выполнить расчет потока вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд q, размещенный в ее центральной точке. Формула будет иметь следующий вид:

\(\Phi _{E}=\int_{S}^{}{E_{n}dS}=\frac{kq}{r^{2}}4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon _{0}}\)

Уравнение применимо в случае замкнутой поверхности разной формы. Если выделить сферу с помощью произвольной замкнутой поверхности, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, будет проходить через эту поверхность. 

Можно представить, что заряд q охватывает какая-то замкнутая поверхность. В случае, когда линии напряженности будут выходить из поверхности, поток станет положительным. Если линии напряженности входят в поверхность, то поток напряженности будет обладать отрицательным значением. Нечетное количество пересечений в процессе расчета потока приводят к одному пересечению.

Определение

Теорема Гаусса для электростатического поля будет сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электростатического поля в вакуумной среде через какую-то замкнутую поверхность является отношением алгебраической суммы зарядов, которые она содержит, и электрической постоянной .

В виде формулы утверждение можно записать в следующем виде:

\(\Phi _{E}=\int_{S}^{}{\vec{E}d\vec{S}}=\int_{S}^{}{E_{n}dS}=\frac{\sum{q_{i}}}{\varepsilon _{0}}\)

Данную теорему вывел математически для векторного поля любой природы русский математик М.В. Остроградский, а затем независимо от него для электростатического поля — К. Гаусс. В случае, когда заряд не проходит через замкнутую поверхность, то поток будет иметь нулевое значение. Можно представить произвольную поверхность, окруженную N зарядами, тогда

E = SEi

Поток вектора напряженности:

\(\Phi _{E}=\int_{S}^{}{\sum{(\vec{E_{i}}d\vec{S})}}=\sum{\int_{S}^{}{\vec{E_{i}}d\vec{S}}}=\frac{1}{\varepsilon _{0}}\sum{q_{i}}\)

Представленное уравнение демонстрирует поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность, которая включает совокупность N зарядов, для электростатического поля в вакуумной среде. Для общего случая характерно распределение электрических зарядов с объемной плотностью r, которая неодинакова в разных точках пространства. В таком случае теорема Гаусса будет иметь следующий вид:

\(\sum{q_{i}}=\int pdV\)

\(\Phi _{E}=\int_{S}^{}{E_{n}dS}=\int_{S}^{}{\vec{E}d\vec{S}}=\frac{1}{\varepsilon _{0}}\int \rho dV\)

Когда поле Е определяется конфигурацией всех зарядов, поток вектора Е через произвольную замкнутую поверхность S зависит от алгебраической суммы зарядов, которые расположены внутри поверхности S. При передвижении зарядов без пересечения поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность останется прежним.

Потенциал электрического поля

Помимо
напряженности электрическое поле
характеризуется еще одной важной
физической величиной – потенциалом. Рассмотрим
перемещение заряда q
в поле другого точечного заряда q
из точки 1 в точку 2 (рис

6.3). Работа силы
F
на элементарном перемещении dl определяется
соотношением

Рассмотрим
перемещение заряда q
в поле другого точечного заряда q
из точки 1 в точку 2 (рис. 6.3). Работа силы
F
на элементарном перемещении dl определяется
соотношением

, (6.5)

но
,
значит.
Подставим сюда вместо силы ее значение
из закона Кулона, получим:

. (6.6)

Для
вычисления работы перемещения заряда
из точки 1 в точку 2 по произвольному
пути 1–2 проинтегрируем (6.6) в пределах
от r1
до r2
, получим

. (6.7)

Из
выражения (6.7) следует, что работа
перемещения электрического заряда не
зависит от формы пути, по которому
перемещается заряд, а зависит только
от начальной и конечной точек. Если
заряд q,
перемещаясь в электрическом поле,
возвращается в исходную точку (r2
= r1),
то работа перемещения заряда по замкнутому
пути в электростатическом поле равна
нулю. Поля, обладающие указанным
свойством, называются потенциальными.

Найдем
отношение работы перемещения заряда к
величине этого заряда:

. (6.8)

Эта
величина не зависит от величины
перемещаемого заряда и от пути, по
которому он перемещается, и поэтому
служит характеристикой поля, созданного
зарядом q
, и называется разностью потенциалов
или электрическим напряжением.

Разность
потенциалов двух точек 1 и 2 электрического
поля измеряется работой, совершаемой
полем при перемещении единичного
положительного заряда между этими
точками.

Следует
подчеркнуть, что разность потенциалов
имеет смысл характеристики поля потому,
что работа перемещения заряда не зависит
от формы пути. Действительно, если бы
работа перемещения заряда зависела от
пути, то при перемещении одного и того
же заряда между теми же самыми точками
поля, это отношение Aq
не являлось бы однозначной характеристикой
этих точек поля.

Если
выбрать какую-либо точку пространства
в качестве начальной точки (точки
отсчета), то любой точке можно сопоставить
разность потенциалов относительно этой
начальной точки.

Для
случая поля точечного заряда наиболее
простое математическое выражение для
потенциала получается, если в качестве
начальной выбрать любую точку, удаленную
на бесконечность. Тогда работа перемещения
положительного заряда q из бесконечности
в данную точку поля, созданного другим
точечным зарядом q
, будет равна

. (6.9)

Отношение
работы перемещения положительного
заряда из бесконечности в данную точку
поля к величине этого заряда (работа по
перемещению единичного заряда) называется
потенциалом данной точки поля:

. (6.10)

Знак
минус в этом выражении означает, что в
данном случае работа совершается
внешними силами против сил поля.

Очевидно,
что напряжение U
между произвольными точками 1 и 2
электрического поля и потенциалы этих
точек связаны простым соотношением

. (6.11)

Для поля точечного
заряда

. (6.12)

Потенциал
любой точки поля, созданного положительным
зарядом – положителен и убывает до нуля
по мере удаления от заряда. Напротив –
потенциал поля, созданного отрицательным
зарядом, – отрицательная величина и
растет до нуля по мере удаления от
заряда.

Из
выражения для потенциала (6.12) следует,
что потенциал любой точки сферической
поверхностиS
c
центром в точке расположения заряда
одинаков (рис. 6.4). Такие поверхности
называются поверхностями равного
потенциала или эквипотенциальными
поверхностями.

Работу
перемещения заряда можно выразить через
разность потенциалов

.
(6.13)

Отсюда
следует, что работа перемещения заряда
по эквипотенциальной поверхности равна
нулю. Это значит, что сила, действующая
на заряд, а следовательно, и вектор
напряженности поля Е направлены
перпендикулярно эквипотенциальной
поверхности.

Используя
эквипотенциальные поверхности, можно
также дать графическое изображение
электрического поля.

Результаты,
полученные для поля точечного заряда,
легко распространить на поля, созданные
любым числом точечных зарядов, а так
как любое заряженное тело можно
представить как совокупность точечных
зарядов, то и на поле, созданное любым
заряженным телом.

Поля
точечных зарядов в соответствии с
принципом суперпозиции, накладываясь
друг на друга, не влияют друг на друга.
Поэтому потенциал поля любого числа
зарядов будет равен алгебраической
сумме потенциалов полей, созданных
отдельными зарядами, т. е.:

. (6.14)

Таким
образом, все вышеизложенное в отношении
понятия потенциала справедливо и для
поля, созданного заряженным телом любой
формы, а величину потенциала, в принципе,
можно вычислить по формуле (6.14).

Вычисление чистой силы на тестовом заряде

Электрические поля (как векторные) наделены свойствами, характерными для векторов, поэтому их можно прибавить в любой точке (принцип сложения векторов). В указанных зарядах q1, q2, … qn можно найти результирующую силу на тестовом заряде в конкретной точке с применением векторного сложения.

Обзор
  • Электрическая зарядка в атоме
  • Свойства электрических зарядов
  • Разделение заряда
  • Поляризация
  • Статическое электричество, заряд и сохранение заряда
  • Проводники и изоляторы
  • Опыт Милликена
Экранирование и зарядка посредством индукции
  • Электростатическое экранирование
  • Индуцированный заряд
Закон Кулона
  • Суперпозиция сил
  • Сферическое распределение заряда
  • Решение проблем с векторами и законом Кулона
Повторное электрическое поле
  • Электрическое поле от точечного заряда
  • Суперпозиция полей
  • Электрические полевые линии
  • Параллельно-пластинчатый конденсатор
  • Электрические поля и проводники
  • Проводники и поля в статическом равновесии
Электрический поток и закон Гаусса
  • Электрический поток
  • Закон Гаусса
Применение электростатики
  • Биология: структура и репликация ДНК
  • Фотокопировальные машины и принтеры
  • Генераторы Ван Де Граафа

Поток вектора напряженности

Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка ΔS.

Определение 1

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E→, площади ΔS и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

ΔΦ=EΔScos α=EnΔS.

В данной формуле En является модулем нормальной составляющей поля E→.

Рисунок 1.3.1. Иллюстрация элементарного потока ΔΦ.

Пример 1

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S. Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера ΔSi, рассчитаем элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

Φ=∑∆Φi=∑Em∆Si

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Рисунок 1.3.2. Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Физический смысл напряженности магнитного поля

Индукция магнитного поля – силовая характеристика. Индукция определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд, движущийся в поле с определенной скоростью.

Напряженность поля характеризует густоту силовых линий (линий магнитной индукции).

Физический смысл напряженности магнитного поля

В вакууме или при отсутствии среды, способной к намагничиванию (например, в воздухе) напряженность магнитного поля совпадает с магнитной индукцией с точностью до коэффициента μ 0 .

В средах, способных к намагничиванию (магнетиках) напряженность несет смысл как бы «внешнего поля». Она совпадает с вектором магнитной индукции, который был бы, если бы магнетика не было.

Физика для средней школы

Напряженность электростатического поля. Линии напряженности

Для исследования электростатического поля в него необходимо внести пробный заряд q (заряд q — точечный положительный заряд достаточно малой величины, чтобы его внесение в исследуемое поле не искажало это поле, иначе, это заряд, собственное поле которого пренебрежимо мало по сравнению с исследуемым) и измерить силу, которая действует на него в заданной точке поля.

Рис. 1

Сила, действующая на заряд q, помещенный в точку М исследуемого поля (рис. 1), пропорциональна этому заряду и зависит от свойств поля в этой точке: FM ~ q. Отношение же этой силы к заряду q не зависит от вносимого заряда и для данной точки поля есть величина постоянная

Это отношение называется напряженностью поля и является характеристикой силового действия электростатического поля на внесенные в него заряженные тела.

В СИ единицей напряженности поля является ньютон на кулон (Н/Кл) или вольт на метр (В/м).

Напряженностью в данной точке электростатического поля называют векторную физическую величину, равную отношению силы, действующей в данной точке на точечный пробный заряд, к этому заряду.

Зная напряженность в некоторой точке поля, всегда можно определить силу, действующую на любой заряд q, помещенный в данную точку поля

Графически изображать электростатическое поле удобнее не в виде векторов напряженности, а с помощью линий напряженности. Это предложил М. Фарадей. При построении линий напряженности необходимо придерживаться следующего:

  1. касательная к линии напряженности в каждой точке совпадает с вектором напряженности (рис. 2);

    Рис. 2

  2. линии напряженности электростатического поля — незамкнутые линии: они начинаются на поверхности положительно заряженных тел (или в бесконечности) (рис. 3, а, б) и оканчиваются на поверхности отрицательно заряженных тел (или в бесконечности);

    Рис. 3

  3. линии напряженности не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор имеет лишь одно направление;
  4. в любой точке поля плотность линий напряженности равна модулю напряженности поля в этой точке. Плотностью линий напряженности называют число линий, проходяших сквозь единичную площадку, перпендикулярную им. В случае точечного заряда (или шара), находящегося на достаточно больших расстояниях от других тел, электростатическое поле симметрично относительно центра заряда (рис. 3, а, б).

Рис. 4

На рисунке 4, а изображено плоское сечение поля двух одноименно заряженных шаров, а на рисунке 4, б — двух разноименно заряженных шаров, на рисунке 5, а — электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости, на рисунке 5, б — поле системы двух разноименно заряженных плоскостей.

Рис. 5

Определение параметров электрического поля

Зная величину внесенного в поле заряда q, можно рассчитать силу в каждом конкретном случае:

\(\overrightarrow{F} = q \times\overrightarrow{Е}\)

Согласно закону Кулона, напряженность поля вокруг неподвижного точечного заряда q описывается выражением:

\(\overrightarrow{Е} = k \times \frac{q}{r^{2}} \times \frac{\overrightarrow{r}}{r}\)

\(k\) равен \(\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\)

\(\epsilon_{0}\) — электрическая постоянная, равная \(8,85\times 10^{-12}\) Ф/м.

Для вычисления напряженности всего поля нужно сложить напряженности полей отдельных зарядов, т. е. воспользоваться принципом суперпозиции:

\(\overrightarrow{Е} = \overrightarrow{Е_{1}} + \overrightarrow{Е_{2}}\)

Если во всех точках поля напряженность одинакова, оно считается однородным. Если она различается — неоднородным.

Поток напряжённости электрического поля.

1.
Потоком
напряжённости электрического поля

через какую-либо поверхность называют
число линий напряженности
,
пронизывающих её. Пусть площадкаS
находится в однородном электростатическом
поле. При этом она перпендикулярна к
линиям напряженности. Поскольку через
единицу площади проходит число линий
напряжённости, равное Е,
то элементарный поток через эту площадку
равен ФE
= ES.

Рассмотрим
теперь случай, когда в однородном
электростатическом поле находится
плоская площадка, нормаль
к площадке составляет уголс
направлением поля, т.е. с вектором
напряжённости
(рис. 2). Число линий напряжённости,
проходящих через площадкуS
и её проекцию Sпр
на плоскость, перпендикулярную к этим
линиям, одинаково. Следовательно, поток
напряжённости электрического поля
через них одинаков. Используя выражение
предыдущую формулу, находим, чтоНоSпр
= S
cos.
Поэтому

ФЕ
= ES
cos

= E
n
S,
(6)

где
Ecos

= E
n

проекция вектора
на направление нормалик площадке.

dS

Рис. 2
Рис. 3

Для вычисления
потока ФЕ
напряжённости электрического поля
через произвольную поверхность S,
помещённую в неоднородное электрическое
поле (рис. 3), надо мысленно разбить
его на элементарные участки dS,
чтобы площадку можно было бы считать
плоской, а поле в её пределах однородным.
Тогда, согласно (6), элементарный поток
E= En dS,
а поток напряжённости электрического
поля через всю поверхность равен сумме
этих потоков E,
т.е.

(7)

поскольку
суммирование бесконечно малых величин
означает интегрирование.

Формула расчета

Утверждение можно записать в векторной форме. Тогда уравнение будет являться скалярным произведением двух векторов:

\(\Phi _{E}=\left(\vec{E},\vec{S} \right)\)

Где вектор \(\vec{S}\) равен:

\(\vec{S}=\vec{n}S\)

Таким образом, поток вектора \(\vec{E}\) является скалярной величиной, которая в зависимости от угла α может обладать положительным или отрицательным значением. Утверждения можно представить схематично.

На первом изображении поверхность А1 расположена вокруг положительного заряда, поток направлен наружу, то есть:

\(\Phi _{E}>0\)

Поверхность А2 окружает отрицательный заряд, поток направлен внутрь, то есть:

\(\Phi _{E}<0\)

Общий поток А обладает нулевым значением.

На втором рисунке при условии отличия суммарного заряда внутри поверхности от нуля, поток также не равен нулю. В данной системе поток через поверхность А характеризуется отрицательной величиной. Таким образом, поток вектора напряженности связан с зарядом. В этом заключается смысл теоремы Островского-Гаусса.

Теорема гаусса для электростатического поля

Проведём
вокруг точечного заряда сферу произвольного
радиуса r
с центром в точке расположения заряда
(рис. 3). Найдём поток напряжённости
электростатического поля через эту
поверхность. В данном случае направления
векторов
ив любой точке поверхности совпадают.
ПоэтомуEn = Ecos 0 = E.
Модуль напряжённости во всех точках на
поверхности сферы одинаков и равен
C учётом этого из (6) получаем:

Р

О

r

ис.
3

(8)

где
значок
на интеграле означает, что интегрирование
производится по замкнутой поверхности.
E
вынесена за знак интеграла, поскольку
она не зависит от
S
. Суммирование
же всех площадей элементарных площадок
даёт площадь S
сферы, т.е.
Соотношение (8) справедливо не только
для сферы, но и для любой замкнутой
поверхности, поскольку число линий
напряжённости, пронизывающих её и сферу,
одинаково. Если имеется система точечных
зарядов, то очевидно, что полный потокФЕ
напряжённости электрического поля
через замкнутую поверхность в силу
принципа суперпозиции полей равен сумме
потоков ФЕi,
создаваемых каждым зарядом qi
в отдельности, т.е.
=.
Но, как следует из (8),ФEi= qi().
Поэтому

(9)

поскольку

и 
постоянные величины их вынесли за знак
суммы. Таким образом, получен общий
результат, названный теоремой Гаусса:
поток
напряжённости электростатического
поля через любую замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме зарядов,
заключённых внутри неё, делённой на
электрическую постоянную и диэлектрическую
проницаемость среды.

Заряды
в пространстве могут распределяться
не только дискретно, но и непрерывно. В
этом случае вводится понятие о плотности
зарядов. При непрерывном распределении
зарядов по объёму вводят объёмную
плотность заряда. Пусть заряд q
равномерно распределён по объёму V.
Тогда объёмной плотностью заряда 
называется
отношение 
= q/V.
Если же распределение заряда неравномерное,
то надо выделить на поверхности
элементарный участок dV,
в пределах которого заряд dq,
находящийся на нём, можно считать
равномерно распределённым. Объёмная
плотность заряда 
находится
по формуле:

(10)

т.е.
объёмная
плотность зарядов равна заряду,
приходящемуся на единицу объёма.

Используя (6.8), по аналогии с (6.7) можно
найти заряд, расположенный в некотором
объёме V:

(11)

Здесь интегрирование производится по
всему объёму V, по
которому распределён заряд. Тогда при
непрерывном распределении заряда на
некоторому объёму

(12)

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

Необходимо выделить произвольную часть поверхности S, которая опирается на контур L.

Рисунок 1

Определение 1

По формуле Стокса интеграл от ротора вектора напряженности rot E→, взятый по поверхностиS, равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.

Слишком сложно?
Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу

Опиши задание

Значение dS→=dS·n→, n→ является единичным вектором, перпендикулярным участку dS . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором rot E→. Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2. Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Рисунок 2

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение (6), то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия (8) для любой поверхности S, упирающейся на контур L, возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2. На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q. Вся система находится в однородном поле с напряженностью E. Если rot E→≠, то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

Определение 2

Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:

rot E¯=

Пример 1

Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?

Рисунок 3

Решение

По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:

∮LE→ds→≠.

Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр Вм или в ньютонах на кулон НК) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.

Пример 2

Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.

Решение

Если рассмотреть границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε2 и ε1, изображенных на рисунке 4, то видно, что ось Х проходит через середины сторон b. На границе выбирается прямоугольный контур с параметрами длины (а) и ширины (b).

Рисунок 4

Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:

∮LE→ds→=.

Если контур имеет небольшие размеры, тогда циркуляция вектора напряженности, согласно формуле ∮LE→ds→=, представляется в виде:

∮LE→ds→=E1xa-E2xa+Eb2b=.

Eb — это среднее значение E→ на участках, перпендикулярных к границе раздела.

Из формулы ∮LE→ds→=E1xa-E2xa+Eb2b= следует:

E2x-E1xa=Eb2b.

Когда b→, тогда

E2x=E1x.

Выполнение выражения E2x=E1x возможно при произвольном выборе оси Х, которая располагается на границе раздела диэлектриков. Можно представить вектор напряженности в виде двух: тангенциальной Eτ и нормальной En:

E1→=E1n→+E1τ→, E2→=E2n→+E2τ→.

Отсюда следует, что

Eτ1=Eτ2, где Eτi является проекцией вектора напряженности на орт τ, который направлен вдоль границы раздела диэлектриков.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Картины силовых линий

Построить точную картину силовых линий заряженного тела — сложная задача. Нужно сначала вычислить напряженность поля Е(х, у, z) как функцию координат. Но этого еще мало. Остается непростая задача проведения непрерывных линий так, чтобы в каждой точке линии касательная к ней совпадала с направлением напряженности . Такую задачу проще всего поручить компьютеру, работающему по специальной программе.

Впрочем, строить точную картину распределения силовых линий нет необходимости. Имеет смысл рисовать приближенные картины, исходя из определенной симметрии в расположении зарядов. Такая картина дает наглядное представление о поле.

На рисунках 1.27—1.30 изображены довольно точно построенные картины силовых линий: положительно заряженного шарика (рис. 1.27); двух разноименно заряженных шариков (рис. 1.28); двух одноименно заряженных шариков (рис. 1.29); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 1.30). Последний пример особенно важен. На рисунке 1.30 видно, что в пространстве между пластинами вдали от краев пластин силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Силовые линии электростатического поля не замкнуты; они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Изображенные на рисунке 1.27 линии также оканчиваются на отрицательных зарядах, расположенных где-то вдали. Линии непрерывны и не пересекаются, так как их пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.

Представление электрического поля с помощью силовых линий имеет существенный недостаток. Если мы знаем, как выглядят силовые линии одной совокупности зарядов и другой совокупности, мы все равно не получим никакого представления о картине силовых линий, созданной обеими совокупностями. Если же знать напряженность электрического поля в каждой точке пространства для одной к второй совокупности, то вычислить результирующую напряженность поля не составит труда.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий