Расчет электрической цепи. первый и второй законы кирхгофа. метод контурных токов и метод узловых потенциалов

Принцип и метод наложения в теории цепей.

Принцип
наложения или суперпозиции – это
физический принцип, который говорит,
что результирующее действие, возникающее
от воздействия нескольких сил, может
быть в ли­нейной системе найдено как
алгебраическая сумма от действий каждой
силы в отдельности. В теории цепей под
силой рассматривается воздействие
каждого источника. Тогда можно заключить,
что ток, который возникает на участке
цепи под действием нескольких источников,
работающих одновременно, можно определить
как алгебраическую сумму частичных
токов, каждый из которых возникает под
действием своего источника, работающего
отдельно от остальных источников.

Частичные
токи рассчитываются каждый в своей
схеме замещения, в которой оставляют
один источник, а остальные заменяют
следующим образом: идеальный источник
тока – разрывом (
J=0),
идеальный источник напряжения –
перемычкой, проводником (
E=0),
реальные источники энергии – внутренними
сопротивлениями.

К
полученным схемам применяют законы
Кирхгофа, законы Ома. На основе этих
положений возникает метод наложения
для расчетов токов и напряжений. Особенно
он необходим, когда в цепи действует
несколько разнотипных источников
(например, с разными частотами, с разными
видами действия, с разной формой
воздействия).

Рассмотрим на
примере.

Пример 1

К данной схеме
можно применить как метод наложения,
так и метод токов ветвей.

Составим
четыре схемы замещения, в каждой из
которых будет действовать только один
источник энергии.

1)

I1E1=E1/(R1+R3+R45).

2)

При этом надо
учитывать направления частичных токов
и источников.

3)

4)

Как мы видим, в
данном примере решение было бы легче
при применении метода токов ветвей.

Пример
2 Здесь
Е1- источник постоянной эдс, а
j2
– источник переменного тока
.

В
данном случае мы можем использовать
только метод наложения. Составим две
схемы замещения, в первой из которых
рассчитываются частичные токи от
источника постоянной эдс. Поэтому в ней
индуктивность заменена перемычкой, а
емкость – разрывом. Во второй схеме
рассчитываются частичные токи от
источника переменного тока и здесь
необходимо перевести все токи, напряжения
и сопротивления в комплексную форму и
записать законы Кирхгофа в комплексной
форме.

I1E1
I
R2E1
C i
1
j2
iR2
j2
ic j2

L

I3E1
i2 = j2
i
3 j2

I1E1=E1/(R1+R2)=I2E1=I3E1.
Тут надо составлять уравнения по
МКТ в комплексной форме. Например, по 1
закону

I1J2+IR2J2+ICJ2
J2=0,
ICJ2
IR2J2+I3J2=0.

Можно
использовать и общую проводимость
относительно источника тока.
,
,

,.
Аналогично остальные токи

В
итоге получается, что
i1=I1E1+i1
j2,
iR2=IR2E1
iR2j2,
ic=icj2,

i3=I3E1
i3j2,
i2=j2.

4.4. Метод двух узлов

         Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2
примем          равным нулю φ2 = 0. Составим
узловое уравнение для узла 1.

,

,

       Рис. 4.4        
                              
       где 
, ,
—  проводимости ветвей.

        В общем виде:

.

       В знаменателе формулы — сумма проводимостей
параллельно включенных ветвей. В числителе — алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на
проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс»,
если она направлена к узлу 1, и со знаком «минус», если направлена от узла 1.      
После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон
Ома для активной и пассивной ветви.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 – I11 = 3 – 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Метод контурных токов | Теория и задачаМетод контурных токов | Теория и задача

Правило левой руки: применение правила Буравчика, формулы, примеры задач

Грозозащита для антенны

Электричество из земли

Розетки в ванной: выбор и правила установки

Сварка медных проводов инвертором с применением угольного и графитового электрода, и точечным методом

Закон полного тока

Суть метода контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.
Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Узловое контурное уравнение

Узловые и контурные уравнения были получены так же, как и обобщенное уравнение состояния на основе общих законов электрических цепей.

Сколько узловых и контурных уравнений необходимо составить, чтобы определить неизвестные токи в данной цепи.

Графы узловых и контурных уравнений могут быть построены без записи уравнений.

Число узловых и контурных уравнений для сложной схемы оказывается большим, а решение системы m уравнений — громоздким.

Графы узловых и контурных уравнений могут быть построены без записи уравнений.

Графы узловых и контурных уравнений, а также уравнений с напряжениями ветвей дерева могут быть построены без записи уравнений. Так, для построения графа узловых уравнений ( аналогичного графу на рис. 8.21) потенциалам всех узлов схемы ( кроме базисного узла) и узловым токам ставятся в соответствие узлы фА и / iy) сигнального графа.

Идентичность узловых и контурных уравнений цепей часто служит определением их дуальности. Из такого определения легко вывести равенство узловых и контурных матриц, а также соответствующие равенства для параметров элементов дуальных цепей.

Исследование разветвленной электрической цепи постоянного тока.

Как составляются узловые и контурные уравнения.

Зависимые и независимые узловые и контурные уравнения. Совокупность уравнений (1.1) и (1.3) лозволяет получить для любой электрической схемы необходимые и достаточные уравнения, определяющие ее электрическое состояние. При этом следует иметь в виду, что не все узловые и контурные уравнения являются взаимно независимыми.

Рассмотрим составление узловых и контурных уравнений, сводящееся к записи матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений, а также уравнений со: тояния цепей с зависимыми источниками.

Для записи узловых и контурных уравнений RLC-цепн ( схема рис. 6.14, б) воспользуемся символическим методом.

Для решения узловых и контурных уравнений соответственно относительно напряжений в узлах и контурных токов требуется обращение матриц Yy и ZK. Существует много способов обращения матриц. Сцецифичность структуры матриц Yy и ZK определяет во многих случаях целесообразность выбора итеративного метода. При вычислении матриц Yy и Zk х этот метод обычно обеспечивает быструю сходимость расчета. Объясняется это тем, что элементы главной диагонали рассматриваемых матриц, как правило, значительно больше остальных элементов, поскольку элементы главной диагонали являются суммами проводимостей или сопротивлений нескольких ветвей, тогда как остальными элементами служат проводимости и сопротивления отдельных ветвей.

Для составления узловых и контурных уравнений необходимо знать направления токов. Так как направления токов в сложной цепи до расчета неизвестны, то зададимся произвольно направлениями токов во всех ветвях цепи и будем считать эти направления положительными. Если после составления уравнений и их решения получится отрицательное значение для какого-либо из токов, то этот ток в действительности проходит в направлении, противоположном выбранному и показанному на схеме.

Схема разветвленной цепи.

Решение задач по электротехнике онлайн

  • Главная
  • Заказать
  • Обучение моделированию
  • Онлайн помощь
  • Уникализация

Примеры решений
Теория электротехники
Оплата и гарантии
Цены
Контакты
Сотрудничество

Нас довольно часто спрашивают, решаем ли мы задачи по электротехнике и электронике онлайн. Чтобы полностью ответить на этот вопрос, нужно понимать, что же подразумевается под выражением «решение он-лайн». Как показала практика, под онлайн решением задач разные люди понимают немного разные вещи. Основные из них:

1. Возможность онлайн заказа решения задачи

2. Другое направление деятельности — решение непосредственно онлайн

Чтобы мы могли оценить возможность онлайн решения и назвать точную стоимость, нужно сделать следующее:

Сообщите нам дату и время начала экзамена или зачета
Внимание!!! Время указывайте московское, чтобы не было путаницы при заказе из разных регионов;
Укажите время, которое отводится на решение;
Отправьте нам примеры задач, которые будут на экзамене

Если нет примеров — наиболее подбробное описание тем или лекции или ссылки на методические материалы
Очень важно, чтобы мы понимали, что же именно надо будет решать;
Определите способ связи во время экзамена. По опыту, самый удобный это через ВКонтакте — там можно сразу выложить фото задания

Однако, можно и через электронную почту и другие системы, как вам более удобно;

  • Решение проводится только после получения полной оплаты;
  • Решение неоплаченных задач сверх оговоренного заранее количества не проводится. Поэтому совет — если есть возможность появления дополнительных задач, вы можете оплатить с некоторым запасом, например, на одну дополнительную задачу. Если в итоге ее решать не надо будет — вы ничего не теряете, мы просто вернем деньги;
  • В случае обстоятельств, делающих невозможным решение с нашей стороны (отключение электричества или интернета, болезнь исполнителя и так далее), мы возвращаем уплаченную сумму полностью;
  • Если решение не состоялось по обстоятельствам со стороны заказчика (перенос или отмена экзамена, не выход на связь и так далее) и до начала экзамена остается меньше 24 часов, либо он уже начался, мы возвращаем уплаченную сумму за вычетом 200 рублей;

toe5.ru — Решение задач по электротехнике онлайн 2010-2020. Все права защищены.

Порядок расчета

      Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные
направления контурных токов.     
В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с
направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

       Перегруппируем слагаемые в уравнениях

     (4.4)

     (4.5)

     Суммарное сопротивление данного контура называется
собственным сопротивлением контура.     
Собственные сопротивления контуров схемы

,     .

     Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум
контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

,

       где R12 — общее сопротивление между первым и
вторым контурами;             
R21 — общее сопротивление между вторым и первым контурами.            
E11 = E1 и E22 = E2 — контурные ЭДС.       
В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

,.

       Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс».
     Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении
контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем
сопротивлении совпадают по направлению.

       Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I11
и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях.

       Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними,
а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви
совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме
контурных токов, протекающих в этой ветви.
       В схеме на

.

Определение и суть метода контурных токов

По данному методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все, без исключения, элементы. Предполагается, что в каждом контуре может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одному контуру, то ток через входящие в нее элементы равен контурному. Если элемент охватывается несколькими контурами, то он в ней равен алгебраической (с учетом направления) сумме контурных токов.

Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» – при совпадении направления, «минус» – при противоположном. При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока

При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока.

На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется согласно закона Ома:

U=I∙r, где r – внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).

Методика расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчетах цепей переменного напряжения с реактивными элементами используются комплексные величины, затем вычисляются мгновенные и амплитудные величины токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.

Цепь с реактивными элементами

Сборник задач по электротехнике с решениями. Учебное пособие

В первое время после включения показаний амперметра в цепи обмотки I1 = 1,2 А, а после нагрева обмотки до установившейся температуры I2 = 1 А. Учитывая, что температура воздуха в помещении 20 °С

и температурный коэффициент сопротивления меди
4 10–3 K–1, найти температуру обмотки.
1.1.15) Определить сопротивление проводов воздушной линии при температурах +40 и –40 °С. Дли-
на линии l = 28,5 км, диаметр медных проводов d = 5 мм.
1.1.16) Приемник за пять суток непрерывной работы израсходовал
24 кВт ч электроэнергии при напряжении 220 В. Определить ток и сопротивление приемника.
1.1.17) Определить плотность тока в проводах диаметром 4 мм, соединяющих приемник с генерато-
ром. Суточная выработка энергии генератора, составляет 48 кВт ч при напряжении U = 220 В.
U 1.1.18) Электрическая цепь мощностью P = 5 кВт при напряжении
= 220 В подключена к генератору с внутренним сопротивлением

Rвт = 0,22 Ом. Определить эдс и кпд генератора.

1.1.19) Механическая мощность электродвигателя постоянного тока 8,5 кВт при напряжении U = 220 В, кпд 85 %. Определить электрическую мощность и ток двигателя.

1.1.20) На изготовление катушки израсходовано 200 м медного провода диаметром 0,5 мм. На какое постоянное напряжение можно включать эту катушку, если допустимая плотность тока j = 2 А/мм2?

1.1.21) Составить схему электрической цепи, в которой к аккумуляторной батарее присоединены три резистора. Один – регулируемый, включен последовательно с группой из двух нерегулируемых, соединенных между собой параллельно. В схеме предусмотреть управление с помощью двухполюсного выключателя, защиту плавкими предохранителями, измерение общего тока в цепи и напряжения на зажимах батареи.

1.1.22) Составить схему электрической цепи, в которой четыре резистора (один из них регулируемый) образуют замкнутый контур в виде четырехугольника. В одной диагонали четырехугольника – гальванический элемент, присоединенный к цепи через однополюсный выключатель, в другой находится гальванометр, который можно включить и выключить кнопочным выключателем.

1.1.23) Составить схему электрической цепи, в которой последовательно включены два нерегулируемых резистора, аккумуляторная батарея и генератор, которые можно включить согласно или встречно. В схеме предусмотреть защиту цепи плавкими предохранителями, измерение тока, измерение напряжения на зажимах батареи и генератора одним вольтметром с помощью переключателя.

1.1.24) Составить схему электрической цепи, в которой генератор постоянного тока и аккумуляторная батарея, включенные параллельно, снабжают энергией внешнюю часть цепи, состоящей из трех нерегулируемых резисторов, включенных также параллельно. Каждый элемент цепи присоединяется к ней однополюсным выключателем. В схеме предусмотреть измерение общего напряжения, тока в каждом источнике и общего тока приемников энергии.

1.1.25) Два генератора постоянного тока, работая круглосуточно на общий приемник, выработали вместе за месяц 96 000 кВт ч энергии. В течение 10 суток этого месяца первый генератор находился в ремонте. За это время счетчик электрической энергии, установленный на линии к приемнику, показал 2 400 кВт ч. Определить мощность и эдс каждого генератора, если амперметр в цепи первого генератора во время работы показывал 500 А, а в цепи второго – 100 А.

1.1.26) Источник электрической энергии имеет в качестве нагрузки реостат с переменным сопротивлением R, эдс источника Е = 24 В, а его внутреннее сопротивление R = 1 Ом. Построить графики зависимости напряжения U на зажимах источника, мощности источника Pи, мощности приемника Pп, кпд источника, мощности потерь внутри источника Pвт от тока в цепи при изменении сопротивления нагрузки от R = ∞ (холостой ход) до R = 0 (короткое замыкание), считая эдс источника постоянной.

1.2ЗАКОН ОМА

1В электрической цепи за положительное направление эдс Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «–» источника к «+» источника питания.

За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т.е. от «+» к «–» источника.

Построение системы уравнений

Построение системы уравнений по рассматриваемой методике выполняется по следующим правилам:

  • Для каждого выбранного контура задается направление обхода;
  • С левой стороны равенств записывается сумма всех произведений искомых токов в ветвях на сопротивление веток. В правую часть записывается сумма источников напряжений, присутствующих в контуре;
  • Если направление искомой величины или источника напряжения такое же, как у заданного направления обхода, то слагаемые пишутся со знаком «плюс», в ином случае они имеют отрицательное значение;
  • Значение токов в ветвях заменяют на их выражение через токи контура.

После выполнения арифметических действий (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) получается система уравнений, в которых неизвестными величинами являются виртуальные контурные токи.

Решая систему уравнений, получают значения контурных, а затем искомых величин.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий